Если рассматривать приложение исчисления высказываний для анализа и оптимизации контактно-релейных схем, схем автоматики и других приложений и, зная. что уменьшение числа элементов и/или связей приводит к повышению надёжности устройств, использующих эти схемы, то становится очевидным важность изучения таких формул в дискретной математике, которые позволяют произвести оптимизацию самой формулы.
К законам, позволяющим уменьшать элементы и операции логических высказываний, относятся законы поглощения и склеивания.
Закон поглощения:
для логического сложения: А (A & B) = A ;
для логического умножения: A & (A B) = A .
Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.
Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), другие - основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).
Нарушения законов логики приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.
8. Правило склеивания
;
(2.11)
.
(2.12)
Доказательство
(2.11):
.
Доказательство(2.12):
9. Закон обобщённого склеивания . (2.13) . (2.14) Доказательства(2.13): Доказательство (2.14). Раскроем скобки сначала левой части равенства (2.14) а, затем, правой его части. ; .
9. Правило де Моргана
Законы де Моргана (правила де Моргана ) - логические правила, связывающие пары дуальных логических операторов при помощи логического отрицания.
История и определение
Огастес де Морган первоначально заметил, что в классической пропозициональной логике справедливы следующие соотношения:
not (P and Q) = (not P) or (not Q)
not (P or Q) = (not P) and (not Q)
Обычная запись этих законов в формальной логике:
в теории множеств:
Формулы де-Моргана применимы при любом числе аргументов. Они иллюстрируют глубокую взаимную симметрию операций И и ИЛИ: если операция И избирательно реагирует на совпадение прямых сигналов, то операция ИЛИ так же избирательно реагирует на совпадение их инверсий. Элемент ИЛИ прозрачен для любого сигнала, элемент И - для любой инверсии. Пользуясь формулами де-Моргана, можно легко переводить логические схемы из базиса НЕ, И, ИЛИ, в котором человеку привычнее всего мыслить и составлять исходные логические выражения, в инвертирующие базисы, которые эффективнее всего реализуются интегральной технологией.
10.Стрелка Пирса
Стрелка Пирса (логическое «ИЛИ-НЕ») высказываний a и b - это новое высказывание, которое будет истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Знаком стрелки Пирса является ↓
Значения функции стрелки Пирса представлены в таблице:
Логическим элементом операции стрелки Пирса является:
Стре́лка Пи́рса - бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрение Чарльзом Пирсом (Сharles Peirce) в 1880-1881 г.г.
Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓, эквивалентна операции ИЛИ-НЕ и задаётся следующей таблицей истинности:
Таким образом, высказывание «X ↓ Y» означает «ни X, ни Y». От перемены мест операндов результат операции не изменяется.
X ↓ Y |
||
11. Штрих Ше́ффера - бинарнаялогическая операция,булева функциянад двумя переменными. Введена в рассмотрениеГенри Шефферомв 1913 г. (вотдельных источниках именуется как Пунктир Чулкова) Штрих Шеффера, обычно обозначаемый |, эквивалентен операции И-НЕ и задаётся следующей таблицей истинности:
Таким образом, высказывание X | Y означает, что X и Y несовместны, т.е. не являются истинными одновременно. От перемены мест операндов результат операции не изменяется. Штрих Шеффера, как и стрелка Пирса, образует базис для пространства булевых функций от двух переменных. То есть используя только штрих Шеффера можно построить остальные операции. Например,
-отрицание
Дизъюнкция
Конъюнкция
Константа 1
В электронике это означает, что для реализации всего многообразия схем преобразования сигналов, представляющих логические значения, достаточно одного типового элемента. С другой стороны, такой подход увеличивает сложность реализующих логические выражения схем и тем самым снижает их надёжность. Примером может являться промышленная 155 серия.
Элемент 2И-НЕ (2-in NAND), реализующий штрих Шеффера обозначается следующим образом (по стандартам ANSI):
В европейских стандартах принято другое обозначение:
12. Диодные ключи. Общие сведения. Электронный ключ - это устройство, которое может находиться в одном из двух устойчивых состояний: замкнутом или разомкнутом. Основу электронного ключа составляет нелинейный активный элемент (полупроводниковый диод, транзистор, тиристор и др.), работающий в ключевом режиме. По типу используемого нелинейного элемента электронные ключи делятся на диодные, транзисторные, тиристорные и т. д.
Диодные ключи. Простейший тип электронных ключей – диодные ключи. В качестве активных элементов в них используются полупроводниковые или электровакуумные диоды.
При положительном входном напряжении диод открыт и ток через него
, где - прямое сопротивление диода.
Выходное напряжение
.
Обычно , тогда. При отрицательном входном напряжении ток идет через диод
,
где - обратное сопротивление диода.
При этом выходное напряжение
. Как правило, и. При изменении полярности включения диода график функцииповернется на уголвокруг начала координат.
Диодные ключи не позволяют электрически разделить управляющую и управляемые цепи, что часто требуется на практике. Для переключения (коммутации) напряжений и токов служат т.н. диодные ключи. Эти схемы позволяют при подаче определенного управляющего напряжения замыкать/размыкать электрическую цепь, по которой передается полезный сигнал (ток, напряжение). В простейших ключевых схемах в качестве управляющего может использоваться сам входной сигнал.
Говоря о диодных ключах нельзя не упомянуть особый класс полупроводниковых диодов - p-i-n-диоды. Они применяются только для коммутации ВЧ и СВЧ сигналов. Это возможно благодаря их уникальному свойству - регулируемой проводимости на частоте сигнала. Такое регулирование осуществляется обычно либо при подаче на диод внешнего постоянного напряжения смещения, либо непосредственно уровнем сигнала (для ограничительных p-i-n-диодов).
Законы алгебры высказываний
Алгебра высказываний (алгебра логики) - раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний.
При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы.
Законы алгебры высказываний (алгебры логики) - это тавтологии.
Иногда эти законы называются теоремами.
В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул. Среди законов особо выделяются такие, которые содержат одну переменную.
Первые четыре из приведенных ниже законов являются основными законами алгебры высказываний.
Закон тождества:
А=А
Всякое понятие и суждение тождественно самому себе.
Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.
Например, рассуждение Правильно говорят, что язык до Киева доведет, а я купил вчера копченый язык, значит, теперь смело могу идти в Киев неверно, так как первое и второе слова «язык» обозначают разные понятия.
В рассуждении: Движение вечно. Хождение в школу - движение. Следовательно, хождение в школу вечно слово «движение» используется в двух разных смыслах (первое - в философском смысле - как атрибут материи, второе - в обыденном смысле - как действие по перемещению в пространстве), что приводит к ложному выводу.
Закон непротиворечия :
В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А. Примеры выполнения закона исключенного третьего:
1. Число 12345 либо четное, либо нечетное, третьего не дано.
2. Предприятие работает убыточно или безубыточно.
3. Эта жидкость является или не является кислотой.
Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: «либо - либо », «истина-ложь ». Там же, где встречается неопределенность (например, в рассуждениях о будущем), закон исключенного третьего часто не может быть применен.
Рассмотрим следующее высказывание: Это предложение ложно. Оно не может быть истинным, потому что в нем утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключенного третьего.
Парадокс (греч. paradoxos - неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя. Другим известным парадоксом является задача о парикмахере: В одном городе парикмахер стрижет волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижет себя сам. Кто стрижет волосы парикмахеру? В логике из-за ее формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Это еще раз подтверждает мысль о том, что с помощью алгебры логики нельзя выразить все возможные мысли и доводы. Покажем, как на основании определения эквивалентности высказываний могут быть получены остальные законы алгебры высказываний.
Например, определим, чему эквивалентно (равносильно) А (двойное отрицание А , т. е. отрицание отрицания А ).Для этого построим таблицу истинности:
По определению равносильности мы должны найти тот столбец, значения которого совпадают со значениями столбца А. Таким будет столбец А.
Таким образом, мы можем сформулировать закон двойного отрицания:
Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание. Например, высказывание А = Матроскин - кот эквивалентно высказыванию А = Неверно, что Матроскин не кот .
Аналогичным образом можно вывести и проверить следующие законы:
Свойства констант:
Законы идемпотентности:
Сколько бы раз мы ни повторяли: телевизор включен или телевизор включен или телевизор включен... значение высказывания не изменится. Аналогично от повторения на улице тепло, на улице тепло,... ни на один градус теплее не станет.
Законы коммутативности:
A v B = B v A
А & В = В & А
Операнды А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять местами.
Законы ассоциативности:
A v(B v C) = (A v B) v C;
А & (В & C) = (A & В) & С.
Если в выражении используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.
Законы дистрибутивности:
A v (B & C) = (A v B) &(A v C)
(дистрибутивность дизъюнкции
относительно конъюнкции)
А & (B v C) = (A & B) v (А & C)
(дистрибутивность конъюнкции
относительно дизъюнкции)
Закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции аналогичен дистрибутивному закону в алгебре, а закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции аналога не имеет, он справедлив только в логике. Поэтому необходимо его доказать. Доказательство удобнее всего провести с помощью таблицы истинности:
Законы поглощения:
A v (A & B) = A
A & (A v B) = A
Проведите доказательство законов поглощения самостоятельно.
Законы де Моргана:
Словесные формулировки законов де Моргана:
Мнемоническое правило: в левой части тождества операция отрицания стоит над всем высказыванием. В правой части она как бы разрывается и отрицание стоит над каждым из простых высказываний, но одновременно меняется операция: дизъюнкция на конъюнкцию и наоборот.
Примеры выполнения закона де Моргана:
1) Высказывание Неверно, что я знаю арабский или китайский язык тождественно высказыванию Я не знаю арабского языка и не знаю китайского языка.
2) Высказывание Неверно, что я выучил урок и получил по нему двойку тождественно высказыванию Или я не выучил урок, или я не получил по нему двойку.
Замена операций импликации и эквивалентности
Операций импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций конкретного компьютера или транслятора с языка программирования. Однако для решения многих задач эти операции необходимы. Существуют правила замены данных операций на последовательности операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.
Так, заменить операцию импликации можно в соответствии со следующим правилом:
Для замены операции эквивалентности существует два правила:
В справедливости данных формул легко убедиться, построив таблицы истинности для правой и левой частей обоих тождеств.
Знание правил замены операций импликации и эквивалентности помогает, например, правильно построить отрицание импликации.
Рассмотрим следующий пример.
Пусть дано высказывание:
Е = Неверно, что если я выиграю конкурс, то получу приз .
Пусть А = Я выиграю конкурс ,
В = Я получу приз .
Тогда
Отсюда, Е = Я выиграю конкурс, но приз не получу .
Для преобразования функций, упрощения формул, полученных при формализации условий логических задач, в алгебре логики производятся эквивалентные преобразования, опирающиеся на основные логические законы. Некоторые из этих законов формулируются и записываются так же, как аналогичные законы в арифметике и алгебре, другие выглядят непривычно.
Законы алгебры логики называют иногда теоремами .
В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул.
В справедливости всех законов можно убедиться, построив таблицы истинности для левой и правой частей записанного закона. После упрощения выражения с применением законов алгебры логики таблицы истинности совпадают.
Справедливость части законов можно доказать, применяя инструментарий таблиц истинности.
Рисунок 1.
Примеры
Рисунок 3.
Упростим исходное выражение, используя основные законы алгебры логики:
Рисунок 4.
(закон Де Моргана, распределительный закон для И, закон идемпотенции, операция переменной с её инверсией).
Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных $x$ и $y$ формула на рис.2 принимает значение $1$, то есть является тождественно истинной.
Рисунок 6.
Из таблицы видно, что Исходное выражение принимает такие же значения, что и Упрощенное выражение на соответствующих значениях переменных $x$ и $y$.
Упростим выражение на рис.5, применяя основные законы алгебры логики.
Рисунок 7.
(закон Де Моргана, закон поглощения, распределительный закон для И).
Рисунок 9.
Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных $x$ и $y$ формула на рис.8 принимает значение $0$, то есть является тождественно ложной.
Упростим выражение, применяя законы алгебры логики:
Рисунок 10.
Рисунок 12.
(закон Де Могргана, распределительный).
Составим таблицу истинности для выражения на рис.11:
Рисунок 13.
Из таблицы видно, что выражение на рис.11 в некоторых случаях принимает значение $1$, а в некоторых - $0$, то есть является выполнимым.
(правило де Моргана, выносим за скобки общий множитель, правило операций переменной с её инверсией).
(повторяется второй сомножитель, что возможно используя закон идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания).
(вводим вспомогательный логический сомножитель
Основные законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений
В алгебре логики имеются законы, которые записываются в виде соотношений. Логические законы позволяют производить равносильные (эквивалентные) преобразования логических выражений. Преобразования называются равносильными, если истинные значения исходной и полученной после преобразования логической функции совпадают при любых значениях входящих в них логических переменных.
Для простоты записи приведем основные законы алгебры логики для двух логических переменных А и В. Эти законы распространяются и на другие логические переменные.
1. Закон противоречия:
2. Закон исключенного третьего:
3. Закон двойного отрицания:
4. Законы де Моргана:
5. Законы повторения: A & A = A; A v A = A; В & В = В; В v В = В.
6. Законы поглощения: A ? (A & B) = A; A & (A ? B) = A.
7. Законы исключения констант: A ? 1 = 1; A ? 0 = A; A & 1 = A; A & 0 = 0; B ? 1 = 1; B ? 0 = B; B & 1 = B; B & 0 = 0.
8. Законы склеивания:
9. Закон контрапозиции: (A ? B) = (B ? A).
Для логических переменных справедливы и общематематические законы. Для простоты записи приведем общематематические законы для трех логических переменных A, В и С:
1. Коммутативный закон: A & B = B & A; A ? B = B ? A.
2. Ассоциативный закон: A & (B & C) = (A & B) & C; A ? (B ? C) = (A ? B) ? C.
3. Дистрибутивный закон: A & (B ? C) = (A & B) ? (A & C).
Как уже отмечалось, с помощью законов алгебры логики можно производить равносильные преобразования логических выражений с целью их упрощения. В алгебре логики на основе принятого соглашения установлены следующие правила (приоритеты) для выполнения логических операций: первыми выполняются операции в скобках, затем в следующем порядке: инверсия (отрицание), конъюнкция (&), дизъюнкция (v), импликация (?), эквиваленция (?)
Выполним преобразование, например, логической функции
применив соответствующие законы алгебры логики.
Урок Законы алгебры логики
- научиться применять законы алгебры логики для упрощения выражений;
- развивать логическое мышлении;
- прививать внимательность
- X X Закон тождества.
- Закон противоречия
- Закон исключенного третьего
- Закон двойного отрицания
- Законы идемпотентности: X X X, X X C
- Законы коммутативности (переместительности): X Y Y X, X Y Y X
- Законы ассоциативности (сочетательности): (X Y) Z X (Y Z), (X Y) Z X (Y Z)
- Законы дистрибутивности (распределительности): X (Y Z) (X Y) (X Z), X (Y Z) (X Y) (X Z)
- Законы де Моргана ,
- X 1 X, X 0 X
- X 0 0, X 1 1
Опрос законов алгебры логики (на доске).
Перечислим наиболее важные из них:
1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.
Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием. “Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.
Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.
Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания — то же, что утверждать это высказывание.
“ Неверно, что 2*24”
Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.
Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.
В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.
Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806-1871) — шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках:
— отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.
— отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.
1. Установить эквивалентны ли высказывания.
3. С помощью таблиц истинности доказать законы поглощения и склеивания.
I. Подача нового материала.
- Законы поглощения: X (X Y) X, X (X Y) X
- Законы склеивания: (X Y) (Y) Y, (X Y) (Y) Y
- с помощью таблиц истинности;
- с помощью равносильностей.
- (X Y) (Y) (X+Y) *(+Y) X* + Y* + Y*Y+ X*Y Y* + Y + X*Y Y* + Y(1+X) Y* +Y Y(+1) Y склеивания
- X (X Y) X*X+X*Y X+X*Y X(1+Y) X поглощения
- Раскроем скобки (A + B) * (A + C) A * A + A * C + B * A + B * C
- По закону идемпотентности A*A A , следовательно, A*A + A*C + B*A + B*C A + A*C + B*A + B*C
- В высказываниях А и А*C вынесем за скобки А и используя свойство А+1 1, получим А+А*С+ B*A + B*C A*(1 + С) + B*A + B*СA + B*A + B*С
- Аналогично пункту 3. вынесем за скобки высказывание А.
A + B*A + B*С A (1 + B) + B С A + B*С - Воспользуемся формулой де Моргана, получим:
- Для выражения применим еще раз формулу де Моргана, получим:
- знаки логического сложения;
- знаки логического умножения,
- будут использованы:
- знаки отрицания и логического умножения
- знаки отрицания и логического сложения.
Доказать законы логики можно:
Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:
П. Практическая часть
1. Упрощение формул.
Пример 1. Упростить формулу (А+В)·* (А+С)
2. Преобразования “поглощение” и “склеивание”
Пример 2. Упростить выражение А+ A*B
Решение. A+A*B A (1 + B) A — поглощение
Пример 3. Упростить выражение A*B+A*
Решение . A*B + A* A (B + ) A — склеивание
3. Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний — все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.
Пример 4. Преобразовать формулу так, чтобы не было отрицаний сложных высказываний.
4. Любую формулу можно тождественно преобразовать так, что в ней не будут использованы:
Пример 5. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения.
Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана.
Вывод: В алгебре логики всякую логическую функцию можно выразить через другие логические функции, но их должно быть по меньшей мере 2 операции, при этом одной из них обязательно должно быть отрицание.
Все операции можно выразить через конъюнкцию и отрицание, дизъюнкцию и отрицание, импликацию и отрицание. Через эквиваленцию и отрицание остальные операции выразить нельзя.
Задание 1.
Установить истинность высказывания .
Задание 2
Установить является ли высказывание тавтологией?
Задание 3.
Установить эквивалентны ли высказывания.
1. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключив логическое сложение:
2. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключить логическое умножение.
lunina.21205s09.edusite.ru
МИР ЛОГИКИ
Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений
Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.
Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.
Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).
Закон
Формулировка
1. Закон тождества
Всякое высказывание тождественно самому себе.
2. Закон исключенного третьего
Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Следовательно, результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина».
3. Закон непротиворечия
Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание Х истинно, то его отрицание НЕ Х должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно.
4. Закон двойного отрицания
Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате получим исходное высказывание.
5. Переместительный (коммутативный) закон
6. Сочетательный (ассоциативный) закон
При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.
5. Распределительный (дистрибутивный) закон
(X /\ Y) \/ Z= (X /\ Z) \/ (Y /\ Z)
(X /\ Y) \/ Z = (X \/ Z) /\ (Y \/ Z)
Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.
7. Закон общей инверсии Закон де Моргана
Закон общей инверсии.
8. Закон равносильности (идемпотентности)
от латинских слов idem - тот же самый и potens -сильный
Законы поглощения алгебра логики
Тема 3. Основы математической логики
1. Логические выражения и логические операции.
2. Построение таблиц истинности и логических функций.
3. Законы логики и преобразование логических выражений.
Лабораторная работа № 3. Основы математической логики.
3. Законы логики и правила преобразования логических выражений
Закон двойного отрицания (двойное отрицание исключает отрицание):
А = = Ú
Закон идемпотентности (от латинских слов idem - тот же самый и potens - сильный; дословно - равносильный):
для логического сложения: А Ú A = A ;
для логического умножения:A & A = A .
Закон означает отсутствие показателей степени.
для логического умножения:A & 1 = A, A & 0 = 0 .
A & = 0 .
Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.
A Ú = 1 .
Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе - ложно, третьего не дано.
для логического умножения:A & (A Ú B) = A .
Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.
Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), другие — основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).
Нарушения законов логики приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.
Пример 1. Упростить формулу (А Ú В) & (А Ú С) .
A Ú B & A Ú B & C = A & (1 Ú B) Ú B & C = A Ú B & C .
Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.
Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний — все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.
Пример 2. Упростить выражения так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.
Решение: