Методика предназначена для выявления возможности устанавливать пространственно-временные и причинно-следственные связи по серии сюжетных картинок.
Для проведения обследования необходимо иметь несколько серий, состоящих из 2-5 картинок, каждая из которых отражает какое-либо событие несложного сюжета. Серии подбираются разной степени трудности: от самых легких до таких, в которых имеется пропущенное звено. Желательно иметь серии в красках, так как цветные изображения воспринимаются детьми легче, чем черно-белые, и вызывают больший эмоциональный интерес.
Ребенку показывают пачку перемешанных, заранее пронумерованных картинок: «Вот здесь на картинках один рассказ. Найди, с чего все началось, что было потом, чем все кончилось. Положи все картинки по порядку (одновременно показывать жестом). Сюда положи первую картинку, сюда - вторую, ...а сюда положи последнюю картинку».
Перед ребенком выкладывают перемешанные в беспорядке картинки: «Посмотри картинки и начинай раскладывать».
В протоколе регистрируются все действия ребенка: как он рассматривает картинки, как начинает действовать (целенаправленно или хаотично, не задумываясь над очередной картинкой), замечает ли ошибки и исправляет их или не обращает на них внимания и продолжает выкладывать дальше, просматривает ли еще раз всю раскладку после ее завершения и т.д. После окончания раскладки экспериментатор записывает в протоколе полученную последовательность. Если ребенок сразу выполнил задание правильно, ему предлагается другая, более сложная серия с краткой инструкцией: «На этих картинках другой рассказ. Разложи все картинки по порядку» (жест).
Если серия разложена неправильно, переходят ко второму этапу по этой же серии. «Ты разложил неправильно (экспериментатор выбирает первую картинку). Вот эта первая картинка. Положи ее сюда (остальные в беспорядке выкладывает перед ребенком). А эти картинки (жест) разложи по порядку».
Если ребенок выполнил задание правильно, ему дают аналогичную серию с тем, чтобы проверить, сможет ли он применить освоенный способ действия. Если серия не разложена, начинают следующий этап.
Экспериментатор рассказывает весь сюжет, подчеркивая слова «раньше», «потом» и сопровождает свой рассказ последовательным выкладыванием картинок. Затем снова перемешивает картинки и предлагает ребенку разложить их по порядку.
Если все выполнено правильно, ребенку дают аналогичную серию, если нет - еще повторяют предыдущий этап, стараясь получить правильную раскладку. Дополнительные объяснения по схеме четвертого этапа обязательно заносятся в протокол.
При оценке выполнения задания основное внимание обращается на количество помощи (этапы - подсказки), необходимой ребенку для получения правильного результата, на то, как он принимает эту помощь, и на возможность «переноса».
Примерные серии последовательных картинок для младших детей: «Волки», «Лодки», «Колодец», «Собака-санитар», «Вороны», «Весна наступила», «Мальчик и собака», «Лиса и ворона», «Хитрый мышонок», «Заяц и морковка», «На льдине».
Классификация предметов
Метод предметной классификации применяется для исследования процессов обобщения и абстрагирования. Он состоит в распределении предметов по группам в зависимости от их сходства и различия. Кроме того, применение этого метода дает возможность выявить особенности внимания, личностных реакций испытуемого на свои успехи и неудачи.
Для проведения исследования необходимо иметь набор из 70 карточек, на которых изображены разнообразные предметы и живые существа. Для получения достоверных данных следует пользоваться стандартным набором карточек.
Методика классификации предметов применяется как для исследования взрослых, так и детей (от 6 лет). В зависимости от возраста испытуемого из общего набора или исключают часть карточек (измерительные приборы, учебные пособия), или отбирают небольшое число карточек (20 штук), которые распределяются на простые группы, хорошо известные детям.
Для наиболее простого варианта методики необходим набор из 25 картинок. Всегда в одном и том же порядке предлагаются 20 заранее пронумерованных картинок: яблоко, диван, коза, лошадь, стол, ребенок, велосипед, телега, сливы, женщина, пароход, шкаф, собака, арбуз, моряк, этажерка, кузнец, кошка, самолет, груша.
Перед ребенком кладут 5 непронумерованных ориентировочных карточек: лыжник, кровать, грузовик, вишня, овца.
Показывают ребенку пачку картинок: «Эти картинки разложим по группам - что к чему подходит». Затем предъявляют ребенку первую картинку - яблоко: «Куда мы положим яблоко?» При затруднениях в речи ребенок может показать жестом. Если он показывает верно, экспериментатор одобряет: «Правильно, положи к вишне. Это фрукты». (Обобщающее понятие дает сам экспериментатор.) Если попытка испытуемого не удалась, экспериментатор объясняет сам: «Положи к вишне, это фрукты».
Затем показывают вторую картинку - диван - с тем же вопросом: «Куда положим диван?» При неправильном решении экспериментатор опять объясняет, что эту картинку нужно положить к кровати, так как это мебель.
Экспериментатор продолжает раскладывать и объяснять, давая обобщенные понятия до тех пор, пока ребенок не начнет раскладывать сам. В протоколе отмечается номер картинки, с которой ребенок начинает правильно соотносить предметы по обобщенному признаку (нумерация картинок облегчает запись в протоколе).
Эти записи позволяют лучше разобраться в особенностях протекания процессов анализа и синтеза, понять, доступно ли ребенку установление обобщенной связи между предметами или он объединяет их по конкретным признакам.
Поскольку обследование носит характер обучающего эксперимента, то при анализе данных решающее значение приобретают число этапов, необходимых для усвоения принципа действия, и возможность применения этого принципа в дальнейшей работе того же рода (т. е. возможности «переноса»).
В протоколе отмечаются номера картинок, вопросы и объяснения экспериментатора, действия ребенка, его вопросы и высказывания. Этот вариант методики у детей с первично сохранным интеллектом не вызывает затруднений. В большинстве случаев после совместного разбора 2-3 (иногда I) картинок дети улавливают принцип классификации и дальше выполняют работу самостоятельно без ошибок или с единичными ошибками.
Исключение предметов (четвертый лишний )
Методика предназначена для исследования умения делать обобщения и давать логическое объяснение правильности обобщений. В некоторых методических пособиях эту методику называют упрощенным вариантом классификации предметов.
Важным условием применения методики является речевое обоснование выбора. В отношении детей с нарушениями речи допустим ответ одним словом, с поясняющими жестами, если это дает экспериментатору возможность понять принцип, которым руководствовался ребенок. При обследовании детей, которые из-за речевых дефектов не могут объяснить свой выбор, данный метод имеет более ограниченное применение.
Для проведения эксперимента необходимо иметь набор карточек, градуированных по степени трудности. На каждой карточке нарисовано по четыре предмета, три из которых объединяются одним общим понятием, а четвертый предмет под это понятие не подходит. Например: карманные часы, настольные часы, будильник, пятикопеечная монета; керосиновая лампа, электрическая лампочка, солнце, свечи и т. д.
Можно и самим составить наборы, но обязательно с соблюдением особенностей подбора и оформления карточек (нефиксированное положение «лишнего» предмета, включение цветных рисунков).
Все карточки, которые будут предлагаться ребенку, заранее располагают в порядке возрастающей сложности и складывают стопкой на столе. Инструкция дается на примере самой легкой карточки: «Здесь нарисовано четыре предмета. Три предмета похожи, их можно назвать одним словом. А один предмет к ним не подходит. Найди какой?»
Если ребенок сразу правильно выделяет предмет, его просят объяснить: «Почему этот предмет не подходит? Как эти предметы можно назвать одним словом?» Если же ответ ребенка неверный, экспериментатор вместе с ним разбирает первую картинку, дает обозначение трем предметам и объясняет, почему надо исключить четвертый предмет.
Следующую карточку, по трудности одинаковую с первой, предъявляют ребенку с более короткой инструкцией: «Здесь тоже один предмет не подходит к другим. Посмотри, что здесь надо убрать?»
Если задание выполнено правильно, спрашивают: «Почему не подходит? Как одним словом назвать эти три предмета?» При неправильном исключении предмета с помощью вопроса выясняют его мотивацию. Затем говорят ребенку, что он сделал неправильно, и повторяют на примере этой карточки подробный разбор вместе с ребенком.
В протоколе отмечаются номер карточки, вопросы и замечания экспериментатора, исключаемый предмет, объяснения ребенка и обобщающее слово.
«Отыскивание чисел»
Методика используется для выявления скорости ориентировочно-поисковых движений взора и определения объема внимания применительно к зрительным раздражителям. Пригодна лишь при исследовании детей, которые знают числа.
Для проведения опыта нужно иметь пять таблиц Шульте, представляющих собой планшеты (60x90 см), на которых написаны вразброс числа от 1 до 25. На каждой из пяти таблиц числа расположены по-разному. Кроме того, нужны секундомер и небольшая (30 см) указка. Опыт можно проводить с детьми, обучающимися во II классе массовой школы или в IV классе вспомогательной школы.
Ребенку мельком показывают таблицу, говоря: «Вот на этой таблице числа от 1 до 25 расположены не по порядку». Далее таблицу перевертывают и кладут на стол. После этого продолжают инструкцию: «Ты должен будешь вот этой указкой показывать и называть вслух все числа по порядку от 1 до 25. Постарайся делать это как можно быстрее и без ошибок. Понятно?» Если ребенок не понял задания, ему его повторяют. Таблица при этом не открывается. Затем экспериментатор ставит таблицу вертикально на расстоянии 70-75 см от ребенка и говорит: «Начинай!» Одновременно включает секундомер.
Ребенок указывает на числа и называет их, а экспериментатор следит за правильностью его действий. Когда ребенок дойдет до «25», экспериментатор останавливает секундомер.
Затем ребенку предлагают таким же образом показывать и называть числа на второй, третьей, четвертой, пятой таблицах.
При оценке результатов, прежде всего, становятся заметны различия в количестве времени, которое ребенок тратит на отыскивание чисел. Практически здоровым детям на одну таблицу достаточно 30-50 с (чаще всего 40-42 с).
Заметное увеличение времени на отыскивание чисел в последних (четвертой и пятой) таблицах свидетельствует об утомляемости ребенка, а ускорение - о медленном «врабатывании».
В норме на каждую таблицу уходит примерно одинаковое время.
Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.
СодержаниеСм. также:
Определение
Числовой последовательностью {
x n }
называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . .
ставится в соответствие некоторое число x n
.
Элемент x n
называют n-м членом или элементом последовательности.
Последовательность обозначается в виде n
-го члена, заключенного в фигурные скобки: .
Также возможны следующие обозначения: .
В них явно указывается, что индекс n
принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей:
,
,
.
Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.
Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n стремящемся к бесконечности: . Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.
Примеры последовательностей
Примеры неограниченно возрастающих последовательностей
Рассмотрим последовательность .
Общий член этой последовательности .
Выпишем несколько первых членов:
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к :
при .
Теперь рассмотрим последовательность с общим членом .
Вот ее несколько первых членов:
.
С ростом номера n
,
элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к :
при .
Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу
Рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Первые члены имеют следующий вид:
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0
:
при .
Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий. В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0
с погрешностью .
Ясно, что с ростом n
эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n
,
погрешность можно сделать сколь угодно малой. Причем для любой заданной погрешности ε > 0
можно указать такой номер N
,
что для всех элементов с номерами большими чем N
:
,
отклонение числа от предельного значения a
не превзойдет погрешности ε
:
.
Далее рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Вот несколько ее первых членов:
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n
равны .
Поэтому, с ростом n
,
их величины приближаются к предельному значению a = 0
.
Это следует также из того, что
.
Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0
,
для которой можно найти такой номер N
,
что элементы, с номерами большими чем N
,
будут отклоняться от предельного значения a = 0
на величину, не превышающую заданной погрешности. Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0
:
при .
Примеры расходящихся последовательностей
Рассмотрим последовательность со следующим общим членом:
Вот ее первые члены:
.
Видно, что члены с четными номерами:
,
сходятся к значению a 1 = 0
.
Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a 2 = 2
.
Сама же последовательность, с ростом n
,
не сходится ни к какому значению.
Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)
Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок . Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем
.
И так далее.
В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1) . Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала , мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней.
Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала . То есть с ростом номера n , члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке.
Например, для точки a = 0
можно выбрать следующую подпоследовательность:
.
= 0
.
Для точки a = 1
выберем такую подпоследовательность:
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1
.
Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.
Последовательность, содержащая все рациональные числа
Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.
Рациональное число r
можно представить в следующем виде:
,
где - целое; - натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n
поставить в соответствие пару чисел p
и q
так, чтобы любая пара p
и q
входила в нашу последовательность.
Для этого на плоскости проводим оси p и q . Проводим линии сетки через целые значения p и q . Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов. Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0) (см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1 нам не нужны. Поэтому они не отображены на рисунке.
Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем:
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
И так далее.
Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом , в эту последовательность также будут входить узлы , где - натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .
Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.
Заключение
Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности . Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице Предел последовательности – основные теоремы и свойства .
См. также:08.02.2018
Білім беру саласы: « Познание»
Бөлімдер: ФЭМП.
Тақырыбы: «Закрепление знаний о порядковых числительных. Влево, вправо. Установление последовательности событий»
Мақсаты: закрепить навыки порядкового счета (в пределах5); различать количественный и порядковый счет; закрепить умение правильно отвечать на вопросы «сколько?, «какой по счету?»; учить соотносить количество предметов с цифрой; продолжать учить различать понятия «влево», «вправо»; развивать умение устанавливать последовательность событий, мелкую моторику рук; воспитывать трудолюбие.
Оборудование и материалы: Игрушки: обезьяна, мишка, лиса, заяц, лягушка; Коврограф с картинками машин и пирамид, игровизоры с заданиями и маркерами на каждого ребёнка, задание картинки, цветные карандаши.
Билингвалдық компонент : алма-яблоко, мысық-кошка, маймыл- обезьяна, балық -рыба, құбақа-лягушка, сол жақта-слева, оң жақта-справа.
Сөздік жұмыс/ Словарная работа: вправо,влево.
Ұйымдасты рушы қозғаушы қызметтүрі.
Игровой момент. На столе лежат игрушки: обезьяна, мишка, лиса, заяц, лягушка.
Ребята, вчера вечером к нам в группу приходил мальчик Андрюша. Он помог мне расставить игрушки.
А сегодня я пришла в группу, а все игрушки оказались у меня на столе.
Кто-то ночью поиграл, а расставить не смог. Оставил только загадку, как надо расставить игрушки.
Проявляют интерес, рассматривают игрушки, удивляются, кто же ночью был в группе и играл с игрушками.
Хотят помочь расставить игрушки по местам.
Ұйымдасты ру ізденушілік.
Игра «Отгадай загадку»: загадывает загадку:
Расставил Андрюшка На полке игрушки:
Рядом с мартышкой Плюшевый мишка.
Рядом с лисой - зайка косой.
А последняя лягушка.
Сколько игрушек расставил Андрюшка?
Предлагает назвать по порядку и расставить игрушки так, как расставил игрушки Андрюшка.
Уточняет, что количественный счет и порядковый отличаются и для того чтобы в этом убедиться.
Какая игрушка на третьем месте?
На котором по счету месте зайка?
На котором по счету месте мишка?
Какая игрушка на пятом месте?
На котором по счету месте мартышка?
Игра «Кто что считал?» предлагаю посчитать предметы на картинке,
Физкультминутка «Звериная зарядка».
Раз - присядка, два - прыжок,
Это заячья зарядка!
А лисята, как проснутся,
Любят долго потянуться! Обязательно зевнуть,
Ну, и хвостиком махнуть.
А волчата спину выгнуть,
И легонечко подпрыгнуть А кому зарядки мало.
Начинаем все сначала.
Игра «Что сначала, что потом?»
читает стихотворение:
На столе лежит апорт,
Так и просится он в рот.
Раз прошел, куснул, другой.
Стал Апорт наш не такой...
Каким было яблоко, сначала и каким стало потом?
Балалар посмотрите на экран нужно показать каким было яблоко «сначала» и каким стало «потом»
Билингвальный компонент: алма - яблоко, мысық - кошка, май- мыл - обезьяна, құрбақа - лягушка.
Отгадывают загадку, называют:
пять игрушек.
Называют и расставляют игрушки.
Считают, называют:
лиса.
На четвертом.
На втором.
Лягушка.
На первом.
дети должены взять цифру, которая обозначает это количество предметов, и показать.
Выполняют движения по тексту стихотворения.
Слушаютстихотворение.
Выполняют задание.
Повторяют: алма - яблоко, мысық - кошка, май- мыл - обезьяна, құрбақа – лягушка.
Рефлексивті -коррекция лаушы.
Самоконтроль и самооценкавыполненной работы.
Рефлексия: чем занимались на занятии, какие заданияпонравились?
Вспоминают,
чем занимались,
отвечают навопросы.
Установление последовательности событий. Методика предназначена для выявления сообразительности больных, их умения понимать связь событий, строить последовательные умозаключения. Предложена А.Н. Бернштейном.
Для проведения опыта необходимы серии сюжетных картинок (3-6 картин), на которых изображены этапы какого-либо события. Существуют серии, соответствующие по содержанию детскому возрасту («Волки», «Колодец», «Лодки» и др.), а также серии для взрослых («Колесо», «Пьяница» «Охотник» и т.д.). Оригиналы этих серий выполнены красками, но можно пользоваться и их фотокопиями.
Испытуемому показывают пачку перемешанных карточек и говорят: «Вот здесь на всех рисунках изображено одно и то же событие. Нужно разобрать, с чего все началось, что было дальше и чем дело кончилось. Вот сюда (экспериментатор указывает место) положите первую картинку, на которой нарисовано начало, сюда - вторую, третью... а сюда последнюю».
После того как больной разложил все картинки, экспериментатор записывает в протоколе, как он разложил (например: 5,4, 1, 2, 3), и лишь после этого просит больного рассказать по порядку о том, что получилось. Если больной разложил неправильно, ему задают вопросы, цель которых - помочь больному установить противоречие в его рассуждениях, выявить допущенные ошибки.
Умение ставить вопросы зависит от квалификации и опыта экспериментатора. Вопросы и ответы больного записываются в протокол так же, как и действия больного по исправлению раскладки картин. Если вопросами не удается довести больного до правильного понимания последовательности изображенных событий, экспериментатор просто показывает ему первую картинку и предлагает снова разложить. Это вторая попытка выполнить задание.
Если она также безуспешна, экспериментатор сам рассказывает и показывает больному последовательность событий и, перемешав снова все карточки, предлагает ему разложить их снова - в третий раз. В случае, если больной лишь на третьей попытке правильно установил последовательность, полезно предложить ему другую серию той же методики, чтобы выяснить, возможен ли «перенос» с трудом усвоенного способа рассуждений.
При выполнении задания некоторые больные создают произвольный, вымышленный порядок и, излагая сюжет события, нисколько не считаются с противоречащим ему содержанием рисунка. Такие больные обычно не считаются и с критическими замечаниями и возражениями, которые содержатся в вопросах экспериментатора. Таким способом выявляется некритичность мышления (при глубоком слабоумии, паралитических синдромах и др.).
Некоторые больные не в состояния справиться с установлением последовательности событий по пяти или шести картинкам, так как не могут охватить столь значительный объем данных. Если ту же серию сократить, т.е. ограничить задачу тремя этапами (первой, средней и последней картинкой), они успешно справляются с заданием. Такое сужение объема доступных для рассмотрения данных наблюдается при сосудистых и иных астениях органического генеза.
Интеллектуальное недоразвитие, затрудненность осмысления, свойственные олигофренам и больным с органическими заболеваниями мозга, проявляются в том, что больные, справляясь с легкими сериями, не могут ориентироваться в более трудных. В одной и той же серии они, как правило, ошибаются на одной, более трудной картине.
Отчетливо выявляются с помощью этой методики некоторые формы инертности психических процессов больных: разложив в первый раз картинки неправильно, они в дальнейшем несколько раз подряд повторяют ту же ошибочную версию последовательности. Такая «склонность к застреваниям» наблюдается при некоторых органических заболеваниях мозга в детском, а также в старческом возрасте.
При истолковании результатов исследования следует обращать внимание на то, как больной реагирует на наводящие вопросы и критические возражения экспериментатора, «подхватывает» ли он эту помощь или не понимает ее.
Значительный интерес представляют особенности устной речи больных, выявляющиеся во время объяснения последовательности событий (грамматически связная, развернутая либо односложная, бедная, лаконичная либо с тенденцией к излишней детализации).
В последнее время для установления последовательности и смысла событий используются серии, составленные из карикатур («Дома и на работе», «Прошел год», «Кто работал и кто устал», «Обман зрения» и т.д.). Преимущество этих серий в том, что они труднее для понимания и пригодны для исследования более интеллектуально развитых и сохранных больных. В то же время центр тяжести задания при использовании этих серий как бы переносится с установления строгой последовательности этапов события (иногда эту последовательность точно устанавливать и не нужно) на понимание юмора, т.е. смысла карикатур.
Серии последовательности событий по карикатурам используются с некоторой модификацией порядка проведения опытов. Больному вначале предлагают самому установить последовательность событий, а затем, если он не может этого выполнить, предлагают карточку с названием серии. Название составляется обычно так, что оно как бы проливает свет на смысл всей серии.
Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например, для функции y = n 2 можно записать:
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:
y n = f (n ).
Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….
Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.
Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….
Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .
На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .
Свойства числовых последовательностей.
Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.
Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?
Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.
Геометрическая прогрессия.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями
b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).
Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.
Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.
Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q
Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .
Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид
b n = b 1 q n– 1 .
Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
b 1 , b 2 , b 3 , …, b n
пусть S n – сумма ее членов, т.е.
S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .
Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .
Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,
Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.
При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .
Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как
b n = b n- 1 q;
b n = b n+ 1 /q,
следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):
числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.
Предел последовательности.
Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число
В противном случае последовательность называется расходящейся.
Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность
Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.
Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).
Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .
Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.
Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .
Анна Чугайнова